{comisi0n {braille {espa7ola cccccccccccccccccccccccccccc {gu/as de la {comisi0n {braille {espa7ola {signograf/a matem(tica ccccccccccccccccccccccc {o{n{c{e {servicio {bibliogr(fico {c. {la {coru7a, #ah #bhjbj {madrid {tel.: #iaehidbjj #bjjg {obra en #d vol)menes {volumen {iv cccccccccccc {comisi0n {braille {espa7ola cccccccccccccccccccccccccccc {gu/as de la {comisi0n {braille {espa7ola {signograf/a matem(tica ccccccccccccccccccccccc {coordinaci0n de la edici0n: {departamento de {recursos {culturales {direcci0n de {cultura y {deporte {o{n{c{e. {direcci0n {general {la presente edici0n ha estado al cuidado de {francisco {javier {mart/nez {calvo {primera edici0n, {madrid #bjjg 2{c| {comisi0n {braille {espa7ola {organizaci0n {nacional de {ciegos {espa7oles 2{o{n{c{e| {direcci0n {general {direcci0n de {cultura y {deporte {departamento de {recursos {culturales {calle del {prado, #bd #bhjad {madrid {maquetaci0n e {impresi0n: {artes {gr(ficas {palermo, {s.{l. {signograf/a matem(tica: {i{s{b{n: #igh-#hd-#dhd-#jaie-#e {dep0sito {legal: {m-#aaffa-#bjjg #e {introducci0n {en junio de #aihg, en {montevideo 2{uruguay|, las {imprentas {braille de {habla {hispana aprueban el <{c0digo {matem(tico {unificado para la lengua castellana< 2en adelante, {c{m{u|. {desde ese momento los lectores brai- lle de habla hispana disponen de una signograf/a oficial para textos mate- m(ticos. {la escritura matem(tica en caracte- res visuales, as/ como, en general, la cient/fica, utiliza recursos gr(ficos para calificar y expresar atributos de variables y entidades matem(ticas 2por ejemplo, /ndices y marcas|, represen- taciones bidimensionales 2tales como matrices| y representaciones gr(ficas complejas en distintos niveles 2caso de las divisiones|. {estas peculiari- dades podr/an parecer complejas para ser representadas mediante un sistema #jaaibga-#d #f de escritura b(sicamente lineal como es el braille. {el {c{m{u resuelve es- ta complejidad con sencillez y clari- dad, permitiendo que estas estructuras matem(ticas puedan ser escritas ate- ni$ndose a las peculiaridades de la lectura secuencial a trav$s del tacto. {pasados #bj a7os, y a pesar de que cada vez m(s las herramientas inform(- ticas y procesadores de texto permiten obtener ediciones m(s ricas visualmen- te, el {c{m{u sigue teniendo plena vi- gencia. {en base a ello, esta gu/a sigue la estructura por cap/tulos y secciones de dicho c0digo, con el fin de no crear posibles equ/vocos si se consul- tan ambos documentos. {por )ltimo, queremos agradecer a los creadores del {c{m{u, que han sido nuestros maestros y compa7eros, el ca- mino que nos han abierto tanto a usua- rios del braille como a transcripto- res. {sin lugar a dudas, su racionali- dad seguir( siendo )til a muchas gene- raciones y base para la elaboraci0n de otras signograf/as cient/ficas. #g {recomendaciones a tener en cuenta en la escritura de textos matem(ticos {antes de comenzar la transcripci0n de textos matem(ticos es conveniente tener en cuenta las siguientes reco- mendaciones recogidas en el {c{m{u: #a. {las expresiones matem(ticas se escribir(n, en general, sin espacios intermedios 2espacios en blanco|. {no obstante, en algunos casos, por razo- nes de claridad, se hace necesario de- jar espacios en blanco antes y despu$s de algunos signos que expresamente se indican en las tablas correspondientes 2ejemplo: . 2#cef-#c|: marca de c/rculo en su- per/ndice *. 2#bef-#c|: marca de asterisco en super/ndice {a continuaci0n, se dan ejemplos de su escritura, utilizando la letra . z con c/rculo 2#aj| z*. z con asterisco {la marca se repetir( cuantas veces sea necesario, colocando el punto #c tras la )ltima repetici0n. {ejemplos: z+++. z con tres signos positivos z>>. z con dos c/rculos z--. z con dos signos negativos {si la base est( afectada por cuatro o m(s marcas iguales, suele represen- tarse en caracteres visuales con el n)mero de marcas seguido de la marca en cuesti0n. {en braille ser( necesa- rio el signo de super/ndice seguido del n)mero, la marca correspondiente y un )ltimo car(cter con el punto #c. {ejemplo: :::::::::::: 2#aj| {cuando > es utilizado para indicar grados no va seguido del punto 2v. }#h.#b. {medidas angulares}|. #b-#g #ca z1#d+. z con cuatro signos positivos #b.#c.#b. {marcas en superescrito y suscrito {ambas son las )nicas marcas que se escriben antes del s/mbolo base al que afectan. {en el caso particular de las letras marcadas con uno, dos o tres puntos en superescrito, es necesario utilizar el prefijo alfab$tico correspondiente, incluso para las letras latinas min)s- culas, como se ve en los siguientes ejemplos: '{z z may)scula con un punto '''z letra griega zeta min)scula con dos puntos '''@z zeta min)scula con tres puntos 'cz zeta superrayada 'c'cz zeta con dos rayas horizontales _-z zeta subrayada @?z l/nea ondulada sobre la zeta {si la marca en superescrito afecta #jaaibga-#d #b-#h #cb a m(s de una letra o una expresi0n que contenga m(s de un t$rmino, estos se encerrar(n entre los correspondientes par$ntesis auxiliares. 'c?{a{b} raya sobre {a y {b 'c?z88} zeta segunda superrayada #b.#c.#c. {marcas en otras posiciones {cuando cualquiera de las marcas an- teriores aparezca en otra posici0n, ser( necesario el uso del indicador braille de posici0n: z/+. zeta con un signo positivo en posici0n de sub/ndice a la dere- chaa z'1#d-. z con cuatro signos negativos en posici0n de super/ndice a la izquierda z_/88 z segunda en posici0n de sub/n- dice a la izquierda. #b-#i #cc #b.#d. {s/mbolos con varios /ndices 2#aa| #b.#d.#a. {sub/ndices y super/ndices simult(neos {cuando un s/mbolo o letra est( afectado simult(neamente por un sub/n- dice y un super/ndice, se transcribi- r(n por ese mismo orden: primero el sub/ndice y luego el super/ndice. :::::::::::: 2#aa| {esta forma de representaci0n no se aplica en la escritura de los s/mbolos de algunas entidades matem(- ticas, tales como integral 2&5|, suma- torio 2^s5|, productorio 2^p5| y otros, ya que no se utilizan los sig- nos que indican el lugar donde est( situado cada uno de los /ndices. {en la secci0n correspondiente se dar( cuenta de esta circunstancia, expli- cando cu(l es la operativa que se si- gue en estos casos. #jaaibga-#d #b-#i #cd {ejemplos: z/#d1#c z con sub/ndice <#d< y supe- r/ndice <#c< 2al cubo| z/?i,j}1#b z consub/ndice 2#cdef-#cef|: #j en posici0n baja {si el n)mero tiene m(s de una ci- fra, ambas se escribir(n en posici0n baja: #,= #ag en posici0n baja {n)meros fraccionarios {se escribir(n siguiendo la secuen- cia 2#ag|: ::{signo de n)mero. ::{numerador: cifra o cifras del nu- merador a continuaci0n del signo de n)mero y escritas en posici0n :::::::::::: 2#ag| {no es conveniente esta forma de representaci0n en las a d$cima, etc. {los ordinales {diecisiete grados 2angulares o de temperatura| #b>#d8 {dos grados, cuatro minutos 2angulares| #b@h {dos horas #c@hs#imin {tres horas nueve minutos #b@h#cj {dos horas treinta h.#e.#cj {hora cinco treinta #d-#a #ee #d. {operaciones aritm$ticas b(sicas y relaciones num$ricas elementales #d.#a. {signos de operaciones aritm$ticas elementales + 2#bce|: signo de suma positivo - 2#cf|: signo de resta negativo +:- 2#bce-#be-#cf|: m(s o menos < 2#bcf|: aspas de multiplicaci0n . 2#c|: punto de multiplicaci0n * 2#bef|: divisi0n {ejemplos: #f+#b seis m(s dos #f-#b seis menos dos #f+:-#b seis m(s o menos dos #f<#b seis por dos #f.#b seis por dos #g2#f-#b| siete por 2#def-#cef|: tanto por ciento %>> 2#def-#cef-#cef|: tanto por mil ' 2#d|: m)ltiplo de 2#ai| % 2#def-#j@d|: divisor de %* 2#def-#bef|: divisor primo {- 2#df-#cf|: valor absoluto de la di- ferencia {ejemplos: #e%> #e por ciento #g%>> #g por mil '#e {m)ltiplo de #e #aj='#e #aj es m)ltiplo de #e :::::::::::: 2#ai| {en braille, el signo se es- cribe antes del n)mero o letra corres- pondiente, mientras que en caracteres visuales, se escribe sobre el n)mero o letra correspondiente. {es el mismo caso que el ya visto de la letra pun- teada. #d-#f #ei '{n {m)ltiplo de n #d% #h #d divide a #h {a%{b {a divide a {b 2#bj| #b%*#h #b es divisor primo de #h #c{-#e=% #c-#e% =#b valor absoluto de la diferencia de #c menos #e :::::::::::: 2#bj| {obs$rvese en este ejemplo que en braille no es necesario dejar el espacio en blanco antes de {b, ya que el signo de may)scula braille crea un semicajet/n libre a la derecha del signo matem(tico, al no utilizar nin- guno de los puntos de la fila izquier- da de su cajet/n 2puntos #a, #b y #c|. #jaaibga-#d #e-#a #fj #e. {fracciones, potencias y ra/ces #e.#a. {fracciones generales 2#ba| * 2#bef|: raya de fracci0n {ejemplos: a*c fracci0n de numerador 2#ef-#cef|: disyunci0n excluyente _1 2#j-#f-#af-#j|: {q9:o2{p",_.{q|". ".2{q",_.{p| {p disyunci0n exclu- yente {q implica {p conjunci0n :::::::::::: 2#be| {como se puede ver en caracte- res visuales, en este ejemplo el signo de cierre de llave tiene a su derecha un sub/ndice 2i=#j| y un super/ndice 2el signo de infinito, que es #8|. {en braille se escribe siguiendo este or- den: ::signo de cierre de llave, ::sub/ndice que afecta al cierre de llave, ::car(cter braille : 2#be|, ::super/ndice que afecta al cierre de llave, ::car(cter braille 5 2#aef|. #f-#ad #ge no {q disyunci0n {q conjunci0n no {p 2#bf|. :::::::::::: 2#bf| {v$ase c0mo en este ejemplo es preciso repetir el signo de 5 2#abcdf-#cef-#aef|: integral cur- vil/nea @; 2#e-#bc|: producto de convoluci0n {la representaci0n en caracteres vi- suales de {c5 {integral curvil/nea a lo largo de la curva {c {ejemplo: &5x1#b@dx :::::::::::: 2#cj| {este mismo recurso se utiliza para la escritura de ^s5 2sumatorio| y ^p5 2productorio|, que se encuentran en }#g.#e.#a}. #jaaibga-#d #g-#ab #hf #g.#e. {notaciones sobre funciones determinadas #g.#e.#a. {sucesiones, progresiones y matrices {: 2#df-#be|: progresi0n aritm$tica {:{ 2#df-#be-#ac|: progresi0n geom$- trica ^. 2#de-#c|: factorial {2 | 2#df-#abf #cde|: par$ntesis de coeficiente bin0mico 2par$ntesis m(s grande que el normal| ^s 2#de-#bcd|: sumatorio ^p 2#de-#abcd|: productorio {ejemplos: @|s/n2, {sucesi0n de t$rmino general s/n 2s/n| {sucesi0n de t$rmino general s/n lim.n:,#85s/n {l/mite de s/n cuando n tiende a infinito ^si=#a:n5 {suma desde i igual a #a #g-#ac #hg hasta n 2#ca| ^si=#a:n5s/i {suma desde i igual #a hasta n, de los s/i ^pi=#a:n5 {producto desde i igual a #a hasta n ^pi=#a:n5s/i {producto desde i=#a hasta n, de los s/i n^. {factorial de n {2n:r| {coeficiente bin0mico 2#cef|: grado sexagesimal 1g 2#af-#abde|: grados centesimales 2#cg| 8 2#abef|: minuto sexagesimal 2#ch| :::::::::::: 2#cg| {las medidas angulares en gra- dos centesimales siempre llevan el ca- r(cter 1 2#af|, que se corresponde con el signo de super/ndice. 2#ch| {al a7adir el car(cter 1 2#af| a minutos y segundos, como se puede ver m(s abajo, se distinguen los minu- tos y segundos centesimales de los #jaaibga-#d #h-#g #ajd 18 2#af-#abef|: minuto centesimal 88 2#abef-#abef|: segundo sexagesimal 188 2#af-#abef-#abef|: segundo cente- simal rad. 2#abce-#a-#ade-#c|: radi(n 2#ci| {ejemplos: #e> cinco grados sexagesimales 2tam- bi$n se utiliza para grados de temperatura| #g8 siete minutos sexagesimales #a88 un segundo sexagesimal #e>#g8#a88 cinco grados, siete minu- tos, un segundo #f1g seis grados centesimales #b18 dos minutos centesimales #i188 nueve segundos centesimales :::::::::::: respectivos sexagesimales. 2#ci| {siempre debe ir seguido del punto #c, aunque en el original no fi- gure ese punto. #h-#h #aje #h.#c. {relaciones y operaciones %l 2#def-#abc|: es paralelo a %l= 2#def-#abc-#bcef|: paralelo e igual a #. 2#cdef-#c|: perpendicular a, orto- gonal a "?; 2#ef-#bf-#bc|: hom0logo a, seme- jante a @?. 2#e-#bf-#c|: equivale a 2se utili- za para relacionar figuras de la misma (rea| %6 2#def-#abdf|: proyectividad %7 2#def-#abdef|: perspectividad _+ 2#d-#bce|: suma de vectores '- 2#d-#cf|: resta de vectores {siempre que no haya posibilidad de confusi0n, estos dos )ltimos signos 2suma y resta de vectores| suelen reemplazarse por los signos comunes de suma y resta. '< 2#d-#bcf|: producto vectorial #jaaibga-#d #h-#aj #ajf ", 2#ef-#b|: producto vectorial 9+ 2#bdf-#bce|: suma directa %9+ 2#def-#bdf-#bce|: suma ortogonal 9< 2#bdf-#bcf|: producto tensorial . 2#c|: producto escalar , 2#b|: producto escalar {ejemplos: {s1#. {complemento ortogonal de {s :,x.:,y {producto escalar o interno x por y @k:,x,:,y{, {producto escalar o in- terno x por y {i-#a #ajg {ap$ndice {i. {algunas combinaciones de flechas, trazos y puntos 2#dj| _:z 2#f-#be-#acef| :.z 2#be-#c-#acef| _:.z 2#f-#be-#c-#acef| _:,z 2#f-#be-#b-#acef| @:.z 2#e-#be-#c-#acef| @:,z 2#e-#be-#b-#acef| %a 2#def-#a| %. 2#def-#c| %k 2#def-#ac| @1 2#e-#af| c, 2#ad-#b| @1, 2#e-#af-#b| @9: 2#e-#bdf-#be| :o, 2#be-#ace-#b| '9: 2#d-#bdf-#be| _9: 2#f-#bdf-#be| :::::::::::: 2#dj| {se utiliza la letra :) ?> <} ?o ") '9 _9 :=: <| @8 8, 1/ 9} := =: @3 -=: <> +* _& /1 @& {& %) @0 7| )5 4) "& #| 45 #q 4 3 7 \ $ #jaaibga-#d {ii-#c #aaj c d cccccc cccccccc @\ \, @\, :\, :\ \: :\, @\: {\ \k {\k @\k %\ \l %\l @\l '\ \a '\a '\. _\ \. _\. _\a ^\ \b ^\b ^\; "\ \; "\; "\b 9\ \o 9\o @\o o\ \9 o\9 @\9 =\ \= =\= {\o *\ \+ *\+ :\o +\ \* +\* '\o ?\ \} ?\} :\| }\ \? }\? {\| <\ \> <\> 2\| >\ \< >\< ^\, -\ \- -\- ^\. {fin de la obra ccccccccccccccc #aaa {/ndice ccccccc {p(gs. cccccc {introducci0n ................... #e {recomendaciones a tener en cuen- ta en la escritura de textos matem(ticos ................. #g {importancia del contexto en la escritura braille ........... #aj #a. {prefijos alfab$ticos y sig- nos unificadores ............ #ac #a.#a. {prefijos alfab$ticos #ac #a.#b. {representaci0n braille del alfabeto griego ....... #ai #a.#c. {signos unificadores y par$ntesis auxiliares ..... #bj #b. {/ndices y marcas ........... #be #b.#a. {posiciones ............ #be #b.#b. {sub/ndices y super/ndi- ces ....................... #bf #b.#c.#a. {marcas a la dere- cha en super/ndice ........ #bh #b.#c.#b. {marcas en superes- crito y suscrito .......... #ca #jaaibga-#d #aab {p(gs. cccccc #b.#c.#c. {marcas en otras posiciones ................ #cb #b.#d. {s/mbolos con varios /n- dices ..................... #cc #b.#d.#a. {sub/ndices y supe- r/ndices simult(neos ...... #cc #b.#d.#b. {caso general ..... #cd #b.#e. {/ndices desplazados ... #ce #b.#f. {/ndices num$ricos abre- viados .................... #cg #c. {n)meros .................... #ci #c.#a. {caracteres (rabes o guarismos ................. #ci #c.#b. {n)meros decimales y fraccionarios ............. #dc #c.#b.#a. {n)meros decimales y peri0dicos .............. #dc #c.#b.#b. {n)meros fracciona- rios 2recurso de los